大庆高中数学：等比数列通项公式

我们在初中学习过数列，数列有自己的性质，也是中考考察的重要数学知识点，希望我们在学习数列的时候能够多下功夫，为此接下来给大家带来大庆高中数学：等比数列通项公式的知识点。

对于一个数列 {a n }，如果任意相邻两项之商(即二者的比)为一个常数，那么该数列为等比数列，且称这一定值商为公比 q ;从第一项 a 1 到第n项 a n 的总和，记为 T n 。

(即a1 乘以q 的 (n-1)次方，其推导为“连乘原理”的思想：

a 2 = a 1 *q,

a 3 = a 2 *q,

a 4 = a 3 *q,

````````

a n = a n-1 *q,

将以上(n-1)项相乘，左右消去相应项后，左边余下a n , 右边余下 a1 和(n-1)个q的乘积，也即得到了所述通项公式。

此外， 当q=1时 该数列的前n项和 Tn=a1*n

当q≠1时 该数列前n 项的和 T n = a1 * ( 1- q^(n)) / (1-q).

常见的求通项公式类型

累加法

递推公式为a(n+1)=an+f(n)，且f(n)可以求和

例：数列{an}，满足a1=1/2，a(n+1)=an+1/(4n^2-1)，求{an}通项公式

解：a(n+1)=an+1/(4n^2-1)=an+[1/(2n-1)-1/(2n+1)]/2

∴an=a1+(1-1/3+1/3-1/5+……+1/(2n-3)-1/(2n-1))

∴an=1/2+1/2 (1-1/(2n-1))=(4n-3)/(4n-2)

累乘法

递推公式为a(n+1)/an=f(n),且f(n)可求积

例：数列{an}满足a(n+1)=(n+2)/n an，且a1=4，求an

解：an/a1=an/a(n-1)×a(n-1)/a(n-2)×……×a2/a1=n(n+1)/2

an=2n(n+1)

构造法

将非等差数列、等比数列，转换成相关的等差等比数列

适当的进行运算变形

例：{an}中，a1=3,a(n+1)=an^2,求an

解：ln a(n+1)=ln an^2=2ln an

∴{ln an}是等比数列，q=2，首项为ln3

∴ln an =(2^(n-1))ln3

故an=3^[2^(n-1)]

倒数变换法(适用于a(n+1)=Aan/(Ban+C),其中，A、B、C∈R)

例：{an}中，a1=1，a(n+1)=an/(2an+1)

解：1/a(n+1)=(2an+1)/an=1/an +2

∴{1/an}是等差数列，首项是1，公差是2

∴an=1/(2n-1)

待定系数法

A.递推式为a(n+1)=pan+q(p，q为常数)，可以构造递推数列{an+x}为 以p为公比的等比数列，

即a(n+1)+x=p(an+x)，其中x=q/(p-1) (或者可以把设定的式子拆开，等于原式子)

例：{an}中a1=1，a(n+1)=3an+4,求an

解：a(n+1)+2=3(an+2)

∴{an+2}是等比数列 首项是3，公比是3

∴an=3^n-2

B.递推公式为a(n+1)=pan+q^n(p，q是常数)

常规变形，将两边同时除以q^(n+1),

得到a(n+1)/q^(n+1)=p/q an/q^n+1/q

再令bn=an/q^n,

可以得到b(n+1)=kbn+m(k=p/q , m=1/q)

之后就用上面A中提到的方法来解决

C.递推公式为a(n+2)=pa(n+1)+qan,(p，q是常数)

可以令a(n+2)=x^2 , a(n+1)=x , an=1

解出x1和x2，可以得到两个式子

a(n+1)-x1an=x2(an-x1a(n-1))

a(n+1)-x2an=x1(an-x2a(n-1))

然后，两式子相减，左边可以得出kan来(k为系数)

右边就用等比数列的方法得出来

例：{an}中，a1=1,a2=2,a(n+2)=2/3 a(n+1)=1/3 an

解：x^2=2x/3=1/3

x1=1,x2=-1/3

可以得到方程组

a(n+1)-an=-1/3 (an-a(n-1))

a(n+1)+1/3 an=an+1/3 a(n-1)

解得an=7/4-3/4×(-1/3)^(n-1)

D.递推式a(n+1)=pan+an+b(a，b，p是常数)

可以变形为a(n+1)+x(n+1)+y=p(an+xn+y)

然后和原式子比较，可以得出x，y，

即可以得到{an+xn+y}是个 以p为公比的等比数列

例：{an}中，a1=4， an=3a(n-1)+2n-1(n≥2)

解：原式=>an+n+1=3[a(n-1)+(n-1)+1]

∴{an+n+1}为等比数列，q=3，首项是6

∴an=2×3^n-n-1

大庆高中数学：等比数列通项公式知识点已经为大家带来过了，这些都是对书本知识的归纳，希望我们能够学好等比数列。