大庆家教：牛吃草问题

小学的时候做一些数学题，为了加深同学们的印象，使得同学们便于理解，我们往往会发现在这些题目当中题目的设定都是非常接近生活了，比如说牛吃草，鸡生蛋等等。下面来看看，大庆家教：牛吃草问题。

牛吃草问题和行程问题中的追及问题类似。下面给出几例牛吃草及其相关问题.

例1、牧场上有一片匀速生长的草地，可供27头牛吃6周，或供23头牛吃9周.那么它可供21头牛吃几周?

【分析】解答这类问题，困难在于草的总量在变，它每天、每周都在均匀地生长，时间越长，草的总量越多。草的总量是由两部分组成的：(1)某个时间期限前草场上原有的草量;(2)这个时间期限后草场每天(周)生长而新增的草量。因此，必须设法找出这两个量来。(如图)。从右面的线段图可以看出23头牛9周的总草量比27头牛6周的总草量多，多出部分相当于3周新生长的草量。27头牛6周吃草量相当于27×6=162头牛一周吃草量。23头牛9周吃草量相当于23×9=207头牛一周吃草量。这样一来可以认为每周新生长的草量相当于(207-162)÷(9-6)=15头牛一周的吃草量。

需要解决的第二个问题是牧场上原有草量是多少?用27头牛6周的总吃草量减去6周新生长的草量即为牧场原有的草量。所以牧场上原有草量为26×6-15×6=72头牛一周的吃草量。

牧场上的草21头牛几周才能吃完呢?解决这个问题相当于把21头牛分成两部分。一部分看成专吃牧场上原有的草，另一部分看成专吃新生长的草。但是新生的草只能维持15头牛的吃草量，且始终保持平衡(前面已分析过每周新生的草恰够15头牛吃一周)。故分出15头牛吃新生长的草，另一部分21-15=6头牛去吃原有的草。所以牧场上的草够吃72÷6=12周，也就是这个牧场上的草够21头牛吃12周。

方法二：解决此类问题列方程会比较简单。用到一个公式：

草场草量=(牛数-每天长草量)×天数。以此题为例：

设每头牛每周的吃草量为“1”，草的生长速度为x，则：

(27-x)×6=(23-x)×9，解得：x=15。草场上原有草：(23-15)×9=72.可供21头牛吃72÷(21-15)=12周。

方法三：我们可以将“牛吃草问题”看成追及问题，将题目等价的该一下说法：甲、乙、丙从A，丁从B地同时同向出发，甲每小时走27千米，6小时追上丁，乙每小时走23千米，9小时追上丁，丙的速度是21千米/小时，问丙几小时追上丁?解法如下：

如图，乙追上丁时比甲追上丁时，丁多走了23×9-27×6=45千米，所以丁的速度是45÷3=15千米/小时，路程差是(27-15)×6=72千米，因此丙的追及时间是72÷(21-15)=12小时，即够21头牛吃12周。

例2、一只船发现漏水时，已经进了一些水，水匀速进入船内。如果10人淘水，3小时淘完;如5人淘水8小时淘完。如果要求2小时淘完，要安排多少人淘水?

【分析】总水量随漏水的延长而增加。所以总水量是个变量。而单位时间内漏进船的水的增长量是不变的。船内原有的水量也是不变的量。如果设每个人每小时的淘水量为“1个单位”，则船内原有水量与3小时内漏水总量之和等于每人每小时淘水量×时间×人数，即1×3×10=30。船内原有水量与8小时漏水量之和为1×5×8=40。

每小时的漏水量为(40-30)÷(8-3)=2(即每小时漏进水量为2个单位，相当于每小时2人的淘水量)。船内原有的水量等于10人3小时淘出的总水量-3小时漏进水量，3小时漏进水量相当于3×2=6人1小时淘水量。所以船内原有水量为30-2×3=24。如果这些水要2小时淘完，则需24÷2=12人。但与此同时，每小时的漏进水量又要安排2人淘出，因此共需要12+2=14人。

例3、有一块牧场，可供10头牛吃20天，15头牛吃10天，则它可供多少头牛吃4天?

【分析】设该牧场每天长草量恰可供x头牛吃一天，则：

，解得：x=5，原有草：(10-5)×20=100.可供100÷4+5=30头牛吃4天。

例4、12头牛28天可以吃完10公亩牧场上全部牧草，21头牛63天可以吃完30公亩牧场上全部牧草。多少头牛126天可以吃完72公亩牧场上全部牧草(每公亩牧场上原有草量相等，且每公亩牧场每天生长草量相等)?

【分析】12头牛28天吃完10公亩牧场上的牧草，相当于1公亩原来的牧草加上28天新生产的草可供12×28÷10=33.6头牛吃一天。21头牛63天吃完30公亩牧场上的牧草，相当于1公亩原有的草加上63天新生长的草可供63×21÷30=44.1头牛吃一天。

1公亩一天新生长的牧草可供(44.1-33.6)÷(63-28) = 0.3头牛吃一天，1公亩原有的牧草可供33.6-0.3×28=25.2头牛吃一天，

72公亩原有牧草可供72×25.2÷126=14.4头牛吃126天，

72公亩每天新生长的草量可供72×0.3=21.6头牛吃一天，

所以72公亩牧场上的牧草可供14.4+21.6=36头牛吃126天.

方法二：此题也可以用方程来解。设每公亩上新生长的草可供x头牛吃一天，每公亩的原有草为y，则：

，解得： 。

72×25.2÷126+0.3×72=36头牛126天可以吃完72公亩的草。

例5、有三块草地，面积分别为5，6和8公顷。草地上的草一样厚，而且长得一样快。第一块草地可供11头牛吃10天，第二块草地可供12头牛吃14天。问：第三块草地可供19头牛吃多少天?

【分析】例1是在同一块草地上，现在是三块面积不同的草地。为了解决这个问题，只需将三块草地的面积统一起来。[5，6，8]=120。因为 5公顷草地可供11头牛吃10天， 120÷5=24，所以120公顷草地可供11×24=264(头)牛吃10天。因为6公顷草地可供12头牛吃14天，120÷6=20，所以120公顷草地可供12×20=240(头)牛吃14天。120÷8=15，问题变为： 120公顷草地可供19×15=285(头)牛吃几天?

因为草地面积相同，可忽略具体公顷数，所以原题可变为：“一块匀速生长的草地，可供264头牛吃10天，或供240头牛吃14天，那么可供285头牛吃几天?”

这与例1完全一样。设1头牛1天吃的草为1份。每天新长出的草有

(240×14-264×10)÷(14-10)=180(份)。草地原有草(264—180)×10=840(份)。可供285头牛吃840÷(285—180)=8天。

牛吃草问题经过不断的变换，在不同的题目当中有了不同的运用形式，不管怎么样，这一部分对于同学们来说都需要你们充分掌握大庆家教：牛吃草问题。